6. Penggunaan Diskriminan

Dalam kegiatan 1 bagian b, Anda telah mempelajari cara menentukan akar-akar persamaan kuadrat ax + bx + c = 0 (a 0) dengan menggunakan rumus kuadrat atau rumus abc, yaitu:

Dari rumus itu tampak bahwa akar-akar persamaan kuadrat sangat ditentukan oleh nilai b – 4ac.

Bentuk b–4ac disebut diskriminan (pembeda) dari persamaan kuadrat ax+bx+c=0 dan dilambangkan dengan huruf D, sehingga D = b – 4ac. Pemberian nama/istilah diskriminan D = b – 4ac , dikarenakan nilai D = b – 4ac ini yang mendiskriminasikan (membedakan) jenis akar-akar persamaan kuadrat. Jadi kegunaan diskriminan adalah untuk menentukan jenis akar-akar persamaan kuadrat.

Untuk lebih jelasnya, mairlah kita perhatikan penjelasan materi di bawah ini.

Untuk memeriksa hubungan antara jenis akar-akar suatu persamaan kuadrat dengan nilai diskriminan D = b – 4ac, simaklah kembali akar-akar persamaan kuadrat pada contoh 1 – 4 yang penyelesaiannya dengan menggunakan rumus kuadrat (rumus abc) dan telah Anda pelajari pada materi kegiatan 1 bagian b, yaitu:

*)
Persamaan kuadrat pada contoh 1 yaitu x = 5x + 6 = 0 mempunyai akar-akar x1 = -2 atau x2 = -3.
Akar-akar ini merupakan bilangan real yang berlainan dan rasional (terukur).
Koefisien-koefisien persamaan kuadrat x + 5x + 6 = 0 adalah a = 1, b = 5, dan c = 6, sehingga nilai diskriminannya adalah:
D

= b – 4ac
= 5 – 4.1.6
= 25 – 24
= 1
= 1 

Ternyata bahwa: D>0 dan D = 1 merupakan bentuk kuadrat sempurna.

*)
Persamaan kuadrat pada contoh 2 yaitu 2x – 4x + 1 = 0 mempunyai akar-akar x1 = atau x2 =
Akar-akar ini merupakan bilangan real yang berlainan dan rasional (tak terukur).
Koefisien-koefisien persamaan kuadrat 2x – 4x + 1 = 0 adalah a = 2, b = -4, dan c = 1, sehingga nilai diskriminannya adalah:
D

= b – 4ac
= (-4) – 4.2.1
= 16 – 8
= 8

Ternyata bahwa D>0 dan D=8 tidak berbentuk kuadrat sempurna.

*)
Persamaan kuadrat pada contoh 3 yaitu x – 4x + 4 = 0 mempunyai akar-akar x1 = 1 atau x2 = 2
Dikatakan kedua akarnya sama (kembar), real dan rasional. Koefisien-koefisien persamaan kuadrat x – 4x + 4 = 0 adalah a = 1, b = -4, dan c = 4, sehingga nilai diskriminannya adalah:
D

= b – 4ac
= (-4) – 4.1.4
= 16 – 16
= 0

Ternyata bahwa D=0

*)
Persamaan kuadrat pada contoh 4 yaitu 3x + 2x + 1 = 0 tidak mempunyai akar real atau kedua akarnya tidak real/khayal (imajiner).
Koefisien-koefisien persamaan kuadrat 3x + 2x + 1 = 0 adalah a = 3, b = 2, dan c = 1, sehingga nilai diskriminannya adalah:
D

= b – 4ac
= 2 – 4.3.1
= 4 – 12
= -8

Ternyata bahwa D<0


Berdasarkan penjelasan di atas dapat kita ketahui bahwa ada hubungan antara jenis akar-akar persamaan kuadrat dengan nilai diskriminannya yaitu D = b – 4ac. Jadi nilai diskriminan D= b – 4ac sangat menentukan jenis akar-akar persamaan kuadrat ax + bx + c = 0, yaitu:

1.

2.

3.

Jika D>0, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar real yang berlainan.
a. Jika D berbentuk kuadrat sempurna maka kedua akarnya rasional
b. Jika D tidak berbentuk kuadrat sempurna maka kedua akarnya irasional.
Jika D= 0, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar yang sama (kembar), real dan rasional.
Jika D<0, maka persamaan kuadrat tidak mempunyai akar real atau kedua akarnya tidak real/khayal (imajiner)

Selanjutnya, untuk mengetahui jenis-jenis akar persamaan kuadrat (real atau tidak, sama atau tidak, rasional atau irasional) kita tidak perlu menentukan akar-akar persamaan kuadrat tersebut, tetapi cukup menghitung nilai diskriminan D = b – 4ac.

Agar Anda memahami dan terampil menggunakan perhitungan nilai diskriminan untuk menentukan jenis-jenis akar persamaan kuadrat, perhatikanlah beberapa contoh di bawah ini!

Contoh 1:
Tanpa harus menyelesaikan persamaan terlebih dulu, tentukan jenis akar-akar tiap persamaan kuadrat berikut!
a.  x – 10x + 16 = 0
b.  3x – 36 = 0
c.  x + 6x + 9 = 0
d.  -2x + 3x – 6 = 0
Jawab:

a.

x – 10x + 16 = 0, berarti a = 1, b = -10, dan c = 16.
Nilai diskriminannya adalah:

D

= b – 4ac
= (-10) – 4 . 1 .16
= 100 – 64
= 36
Karena D = 36>0 dan D = 36 = 6 berbentuk kuadrat sempurna maka persamaan kuadrat x – 10x +16 = 0 mempunyai dua akar real yang berlainan dan rasional.
b. 3x – 36 = 0, berarti a = 3, b = 0, dan c = -36.
Nilai diskriminannya adalah:

D

= b – 4ac
= 0 – 4. 3. (-36)
= 0 + 432
= 432
Karena D = 432>0 dan D = 432 tidak berbentuk kuadrat sempurna maka persamaan kuadrat 3x – 36 = 0 mempunyai dua akar yang berlainan dan irasional.
c. x + 6x = 9 = 0, berarti a = 1, b = 6, dan c = 9.
Nilai diskriminanya adalah:

D

= b – 4ac
= 6 – 4 . 19
= 36 – 36
= 0
Karena D = 0, maka persamaan kuadrat x + 6x + 9 = 0 mempunyai dua akar yang sama (kembar), real dan rasional.
d. -2x + 3x – 6 = 0, berarti a = -2, b = 3, dan c = -6
Nilai diskriminannya adalah:

D

= b – 4ac
= 3 – 4. (-2).(-6)
= 9 – 48
= -39
Karena D = -39 maka persamaan kuadrat –2x + 3x – 6 = 0 tidak mempunyai akar real atau kedua akarnya tidak real/khayal (imajiner).

Bagaimana, mudah bukan? Baiklah, untuk lebih jelasnya perhatikan contoh 2 di bawah ini.

Contoh 2.
Tentukan nilai p agar persamaan kuadrat 2x – 4x + p = 0 mempunyai dua akar yang sama (kembar)!

Jawab:
2x – 4x + p = 0, berarti a = 2, b = -4, dan c = p.
Nilai diskriminannya:

D

= b – 4ac
= (-4) – 4. 2.p
= 16 – 8p

Agar persamaan kuadrat 2x – 4c + p = 0 mempunyai dua akar yang sama (kembar), maka:


D
= 0
16 – 8P
= 0
16
= 0 + 8P
16
= 8p
p
= 16/8
p
= 2

Jadi persamaan kuadrat 2x – 4x + p = 0 mempunyai dua akar yang sama (kembar) jika nilai p = 2.

Bagaimana, tidak sulit bukan? Apakah Anda sudah paham? Apabila masih belum jelas, perhatikan contoh 3 di bawah ini.

Contoh 3.

Tunjukkan bahwa persamaan kuadrat x + (m+2)x + m = 0, dengan m R selalu mempunyai dua akar real yang berlainan!

Jawab:

x + (m+2) x + m = 0, berarti a = 1, b = (m + 2), dan c = m.

Nilai diskriminannya adalah:

D

= b – 4ac
= (m+2) – 4. 1. m
=
m + 4m + 4 – 4m
= m + 4

Untuk setiap m R maka m selalu positif atau m > 0, sehingga nilai D=m+4 juga selalu positif atau D = m + 4 > 0. oleh karena D >0 untuk setiap m R maka persamaan kuadrat x + (m + 2)x + m= 0 selalu mempunyai dua akar real yang berlainan.

Nah, setelah memperhatikan beberapa contoh di atas apakah Anda sudah paham? Untuk mengetahui sampai dimana pemahaman Anda terhadap materi di atas, kerjakanlah soal-soal latihan di bawah ini.

1.
Tanpa harus menyelesaikan persamaannya terlebih dulu, tentukan jenis akar-akar tiap persamaan kuadrat berikut!
a. x + x – 20 = 0
b. 2x – 2x – 1 = 0
c. x – 10x + 25 = 0
d. x – x + 2 = 0
2. Tunjukkan bahwa persamaan kuadrat 2x + (p + 4)x + p = 0, dengan p R selalu mempunyai dua akar real yang berlainan!
3.
Tentukan nilai n agar persamaan kuadrat x + nx + 36 = 0 mempunyai dua akar yang sama (kembar)!

Sebelum Anda selesai mengerjakan soal-soal di atas jangan membaca jawabannya terlebih dahulu. Apabila sudah selesai mengerjakannya, samakanlah pekerjaan Anda dengan jawaban di bawah ini.

1.
a. x + x – 20 = 0, berarti a = 1, b = 1, dan c = -20

Nilai diskriminannya:
  D = b – 4ac
= 1 – 4. 1. (-20)
= 1 + 80
= 81
  Karena D = 81 > 0 dan D = 81 = 9 berbentuk kuadrat sempurna maka persamaan kuadrat x + x – 20 = 0 mempunyai dua akar real yang berlainan dan rasional.  

b. 2x – 2x – 1 = 0, berarti a = 2, b = -2, dan c = -1

Nilai diskriminannya:
  D = b – 4ac
= (-2) – 4. 2. (-1)
= 4 + 8
= 12
 
Karena D = 12 > 0 dan D = 12 tidak berbentuk kuadrat sempurna maka persamaan kuadrat 2x – 2x – 1 = 0 mempunyai dua akar yang berlainan dan irasional.

c. x – 10x + 25 = 0, berarti a = 1, b = -10, dan c = 25

Nilai diskriminannya:
  D = b – 4ac
= (-10) – 4. 1. 25
= 100 + 100
= 0
 
Karena D = 0, maka persamaan kuadrat x – 10x + 25 = 0 mempunyai dua akar yang sama (kembar) real dan rasional.

d. x – x + 2 = 0, berarti a = 1, b = -1, dan c = 2

Nilai diskriminannya:
  D = b – 4ac
= (-1) – 4. 1. 2
= 1 – 8
= -7
 
Karena D = -7<0 maka persamaan kuadrat x – x + 2 = 0 tidak mempunyai akar real atau kedua akarnya tidak real/khayal (imajiner).
2. 2x + (p+4)x + p = 0, berarti a = 2, b = (p+4), dan c = p
Nilai diskriminannya adalah:

D

= b – 4ac
= (p+4) – 4. 2. p
= p + 8p + 16 – 8p
= p + 16

Untuk setiap p R maka p selalu positif atau p > 0, sehingga nilai D = p + 16 juga selalu positif atau D = p + 16 > 0. Oleh karena D>0 untuk setiap p R maka persamaan kuadrat 2x + (p + 4)x + p = 0 selalu mempunyai dua akar real yang berlainan.

3.
x + nx + 36 = 0, berarti a = 1, b = n, dan c = 36.

D

= b – 4ac
= n – 4. 1. 36
= n – 144

Agar persamaan kuadrat x + nx + 36 = 0 mempunyai dua akar yang sama (kembar), maka:

D
n – 144
n
n
n
n

= 0
= 0
= 0 + 144
= 144
= ±
= ± 12

n = 12 atau n = -12
Jadi persamaan kuadrat x + nx + 36 = 0 mempunyai dua akar yang sama (kembar) jika nilai n = 12 atau n = -12.

Bagaimana, tidak sulit bukan? Apakah pekerjaan Anda sama seperti jawaban di atas? Apabila ya, bagus berarti Anda benar. Apabila jawaban Anda belum benar, segeralah periksa dan samakan dengan jawaban di atas. Bagi Anda yang menjawab benar selanjutnya kerjakanlah soal-soal uji kompetensi 1.

Jujurlah Anda dalam mengerjakan soal-soal uji kompetensi 1 yang berguna untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi kegiatan 1. Nah, selamat mengerjakan!

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

%d bloggers like this: