4. Penentuan Akar-akar Persamaan Kuadrat

Anda tentu telah mempelajari tentang persamaan kuadrat pada waktu di SMP Terbuka/Reguler. Oleh karena itu, sebelum membahas cara-cara untuk menentukan akar-akar dari suatu persamaan kuadrat, sebaiknya anda ingat kembali bentuk umum persamaan kuadrat yaitu ax + bx + c = 0 dimana a, b, R dan a 0. Persamaan yang berbentuk ax +bx + c = 0 dimana a, b, c, R dan a 0 dinamakan persamaan kuadrat dalam peubah x. Dalam persamaan kuadrat ax + bx + c = 0, a adalah koefisien x, b adalah koefisien x, dan c adalah suku tetapan (konstanta).

Untuk menentukan nilai-nilai a, b, dan c dari suatu persamaan kuadrat, Anda perhatikan beberapa contoh di bawah ini.
1. x + bx + 5 = 0, nilai a = 1, b = b, dan c = 5.
2. x – 4x = 0, nilai a = 1, b = -4, dan c = 0.
3. 3x + 4x + 1 = 0, nilai a = 3, b = 4, dan c = 1.
4. x – 16 = 0, nilai a = 1, b = 0, dan c = -16.

Berkaitan dengan nilai-nilai a, b, dan c, dikenal beberapa persamaan kuadrat, diantaranya adalah:

(i) (ii) (iii) (iv)

Jika a = 1, maka persamaan menjadi x + bx + c = 0 dan persamaan seperti ini disebut persamaan kuadrat biasa. Jika b = 0, maka persaman menjadi x + c = 0 dan persaman seperti ini disebut persamaan kuadrat sempurna. Jika c = 0, maka persamaan menjadi ax + bx = 0 dan persamaan seperti ini disebut peramaan kuadrat tak lengkap. Jika a, b, dan c bilangan-bilangan rasional maka ax + bx + c = 0 disebut persamaan kuadrat rasional.

Setelah Anda memahami beberapa bentuk persamaan kuadrat, selanjutnya marilah kita pelajari cara-cara menentukan akar-akar persamaan kuadrat. Kita masih ingat bahwa untuk menetukan akar-akar persamaan kuadrat dapat dilakukan dengan beberapa cara yaitu:
a. Memfaktorkan (pemfaktoran)
b. Menggunakan rumus kuadrat (rumus abc).
c. Melengkapkan bentuk kuadrat sempurna.
d. Menggambar grafik fungsi kuadrat.

Kali ini, kita akan mempelajari cara menentukan akar-akar persamaan kuadrat dengan cara memfaktorkan dan menggunakan rumus kuadrat. Untuk itu, Anda pelajari baik-baik materi berikut ini.

a.	Menentukan Akar-Akar Persamaan Kuadrat dengan Memfaktorkan Jika suatu persamaan kuadrat ax + bx + c = 0 dapat difaktorkan menjadi berbentuk P x Q = 0, maka akar-akar persamaan kuadrat tersebut dapat ditentukan dengan cara memfaktorkan (pemfaktoran). Contoh persamaan kuadrat yang dapat difaktorkan antara lain:
	*	x + 3x + 2 (x+2) (x+1)	= 0 = 0
	*	2x – x – 1 (2x+1) (x-1)	= 0 = 0
	Lalu bagaimana menentukan akar-akar persamaan kuadrat dengan cara pemfaktoran? Baiklah, untuk lebih jelasnya Anda pelajari beberapa contoh soal di bawah ini. Contoh 1: Tentukan akar-akar persamaan kuadrat x + 5x + 6 = 0 dengan cara pemfaktoran! Jawab:

		x + 5x + 6 x + 3x + 2x + 6	= 0 = 0	Penjelasan: disini 5x kita ubah menjadi 3x + 2x karena: 3x . 2x = x . 6 6x = 6x secara skema dapat dijelaskan sbb: x + 3x difaktorkan menjadi x(x + 30) 2x + 6 difaktorkan menjadi 2(x + 3)
		x(x+3) + 2(x+3)	= 0
		(x + 3) (x + 2)	= 0
		x+3=0 atau x+2=0
		x=0–3 atau x=0–2
		x = -3 atau x = -2
	jadi akar-akar persamaan kuadrat x + 5x + 6 = 0 adalah x1 = -3 atau x2 = -2. atau dalam bentuk himpunan penyelesaian dituliskan sebagai HP = {-3, -2}.
	Bagaimana, tidak sulit bukan? Apakah Anda paham? Baiklah, untuk lebih jelasnya Anda perhatikan contoh-contoh berikut ini. Contoh 2: Tentukan akar-akar persamaan kuadrat: x – x – 12 = 0 dengan cara pemfaktoran! Jawab:

		x – x – 12 x + 3x + (-4x) – 12	= 0 = 0	Penjelasan: disini -x kita ubah menjadi 3x + (-4x) karena: 3x . (-4x) = x . (-12) -12x = -12x secara skema dapat dijelaskan sbb: x + 3x difaktorkan menjadi x(x+3) -4x – 12 difaktorkan menjadi -4(x+3)
		x(x+3) – 4(x+3)	= 0
		(x + 3) (x – 4)	= 0
		x+3=0 atau x-4=0
		x=0–3 atau x=0+4
		x = -3 atau x = 4
	Jadi akar-akar persamaan kuadrat x – x – 12 = 0 adalah x1 = -3 atau x2 = 4. atau dalam bentuk himpunan penyelesaian dituliskan sebagai HP = {-3, 4}. Bagaimana, mudah bukan? Sudah pahamkah Anda? Baiklah, untuk lebih jelasnya perhatikanlah contoh 3 di bawah ini.
	Contoh 3: Tentukan akar-akar persamaan kuadrat: 2x + 3x + 1 = 0 dengan cara pemfaktoran! Jawab:

		2x + 3x + 1 2x + 2x + x + 1	= 0 = 0	Penjelasan: disini 3x kita ubah menjadi 2x + x karena: 2x . x = 2x . 1 2x = 2x secara skema dapat dijelaskan sbb: 2x + 2x difaktorkan menjadi 2x(x+1) x + 1 difaktorkan menjadi 1(x+1)
		2x(x+1) + x + 1	= 0
		2x(x+1) + 1(x + 1)	= 0
		(x + 1) (2x + 1)	= 0
		x+1=0 atau 2x+1=0
		x=0–1 atau 2x=0-1
		x = -1 atau 2x = -1
		x = –
	Jadi akar-akar persamaan kuadrat 2x + 3x + 1 = 0 adalah x1=-1 atau x2=- . Atau dalam bentuk himpunan penyelesaiaan dituliskan sebagai Hp = {-1, – }. Apakah Anda sudah paham? Bagus! Apabila masih mengalami kesulitan, perhatikan contoh 4 berikut ini.
	Contoh 4: Tentukan akar-akar persamaan kuadrat 3x – 2x = 0 dengan cara pemfaktoran! Jawab: 3x – 2x = 0 karena persamaan kuadrat ini hanya terdiri dari dua suku dan masing-masing suku mempunyai faktor yang sama yaitu x, maka difaktorkan menjadi: x (3x – 2) = 0

	x = 0 atau 3x – 2 3x 3x	= 0 = 0 + 2 = 2
	x	=

jadi akar-akar persamaan kuadrat 3x – 2x = 0 adalah x1 = 0 atau x2 = . Atau dalam bentuk himpunan penyelesaian dituliskan sebagai Hp = {0, }. Anda masih belum paham? Baiklah, untuk lebih jelasnya perhatikan contoh 5 di bawah ini.

Contoh 5: Tentukan akar-akar persamaan kuadrat: x – 9 = 0 dengan cara pemfaktoran! Jawab: x – 9 = 0 Persamaan kuadrat ini mempunyai bentuk istimewa, dapat kita faktorkan dengan menggunakan rumus x – a = (x + ) (x – ) sehingga menjadi: (x + ) (x – ) = 0 (x + 3) (x – 3) = 0 x + 3 = 0 atau x – 3 = 0 x = -3 atau x = 3 jadi akar-akar persamaan kuadrat x – 9 = 0 adalah x1 = -3 atau x2 = 3, atau dalam bentuk himpunan penyelesaian dituliskan sebagai Hp = {-3, 3}. Setelah memperhatikan beberapa contoh di atas apakah Anda sudah paham? Untuk mengetahui sejauh mana pemahaman Anda terhadap materi di atas, kerjakan soal-soal latihan uji kompetensi di bawah ini. Tentukan akar-akar tiap persamaan kuadrat di bawah ini dengan cara pemfaktoran. 1. x + 8x + 12 = 0 2. x + x – 20 = 0 3. 2x + 7x + 3 = 0 4. 4x– 5x = 0 5. x– 4 = 0 6. x– 8 = 0 Sebelum Anda selesai mengerjakan soal-soal di atas, jangan membaca jawabannya terlebih dulu. Apabila sudah selesai mengerjakannya, samakanlah pekerjaan Anda dengan jawaban di bawah ini.

	1.		x + 8x + 12	= 0	Penjelasan: di sini 8x kita ubah menjadi 6x + 2x, karena 6x . 2x 12x = x . 12 = 12x
			x + 6x + 2x + 12	= 0
			x(x + 6) + 2(x + 6)	= 0
			(x + 6) (x + 2)	= 0
		x + 6 = 0 atau x + 2 = 0
		x = -6 atau x = -2
		Jadi akar-akarnya adalah x1= -6 atau x2 = -2. Atau Hp = {-6, -2}

	2.		x – x – 20	= 0	Penjelasan: di sini –x kita ubah menjadi 4x + (-5x),   karena 4x . (-5x) -20x = x . (-20) = -20x
			x + 4x + (-5x) – 20	= 0
			x + 4x – 5x – 20	= 0
			x(x + 4) – 5 (x + 4)	= 0
			(x + 4) (x – 5)	= 0
		x + 4 = 0 atau x – 5 = 0
		x = -4 atau x = 5
		Jadi akar-akarnya adalah x1= -4 atau x2 = 5. Atau Hp = {-4, 5}

	3.		2x + 7x + 3	= 0	Penjelasan: di sini 7x kita ubah menjadi 6x + x,     karena 6x . x 6x = 2x . 3 = 6x
			2x + 6x + x + 3	= 0
			2x (x + 3) + x + 3	= 0
			2x(x + 3) + 1. (x + 3)	= 0
			(x + 3) (2x + 1)	= 0
		x + 3 = 0 atau 2x + 1 = 0
		x = -3 atau x = -1/2
		Jadi akar-akarnya adalah x1= -3 atau x2 = – . Atau Hp = {-3, – }

4.

4x – 5x = 0 karena persamaan kuadrat ini hanya terdiri dari dua suku dan masing-masing suku mempunyai faktor yang sama yaitu x, maka difaktorkan menjadi:

			x(4x – 5)	= 0
		x = 0 atau 4x – 5 = 0
		4x = = 1
		Jadi akar-akarnya adalah x1= 0 atau x2 = 1. Atau Hp = {0, 1}

5.

x – 4 = 0 Persamaan kuadrat ini mempunyai bentuk istimewa, dapat difaktorkan dengan menggunakan rumus x – a = (x + )(x – ) Sehingga menjadi:

			(x + ) (x – ) (x + 2) (x – 2)	= 0 = 0
		x + 2 = 0 atau x – 2 = 0
		x = -2 atau x = 2
		Jadi akar-akarnya adalah x1= -2 atau x2 = 2. Atau Hp = {-2, 2}

6.

x – 8 = 0 Persamaan kuadrat ini mempunyai bentuk istimewa, dapat kita faktorkan dengan menggunakan rumus x – a = (x + ) (x – ) sehingga menjadi:

			(x + ) (x – ) (x + ) (x – )	= 0 = 0
		x + = 0 atau x – = 0
		x = - atau x = karena = = . = maka menjadi x = -2 atau x = 2
		Jadi akar-akarnya adalah x1= -2 atau x2 = 2. Atau Hp = {-2, 2} Bagaimana, mudah bukan? Apakah pekerjaan Anda sama seperti jawaban di atas?Apabila ya, bagus! Berarti Anda benar. Apabila pekerjaan Anda belum benar, Segeralah koreksi dan samakan dengan jawaban di atas. Bagi Anda yang menjawab benar, selanjutnya dapat mempelajari materi di bawah ini.

b.	Menentukan Akar-Akar Persamaan Kuadrat dengan Menggunakan Rumus Kuadrat Selain menggunakan cara pemfaktoran, untuk menentukan akar-akar persamaan kuadrat ax + bx + c = 0 adalah dengan menggunakan rumus kuadrat atau sering disebut rumus abc. Rumus kuadrat dapat diturunkan dengan cara melengkapkan kuadrat sempurna sebagai berikut: ax + bx + c = 0
	*	Kedua ruas ditambah –c, maka menjadi: ax + bx = -c
	*	Kedua ruas dibagi dengan a dimana a,
	*	Lengkapkan kuadrat pada ruas kiri, dengan cara menambah		pada
		kedua ruas, maka diperoleh: Nyatakan ruas kiri dalam bentuk kuadrat sempurna yaitu:

				atau
	jadi rumus akar-akar persamaan kuadrat ax + bx + c = 0, adalah:
	Bagaimana menggunakan rumus kuadrat di atas? Baiklah, untuk itu marilah pelajari beberapa contoh berikut.

	Contoh 1: Tentukan akar-akar persamaan kuadrat x + 5x + 6 = 0 dengan cara menggunakan rumus kuadrat! Jawab: x + 5x + 6 = 0, berarti a = 1, b = 5, dan c = 6. Dengan menggunakan rumus kuadrat maka diperoleh:
	=
	=
	=
	=
	x1=		= -2	atau	x2 =		= -3
	Jadi akar-akarnya adalah x1 =-2 atau x2 = -3. Atau Hp = {-2, -3}. Apabila diurutkan dari nilai x yang kecil, maka dapat juga ditulis Hp = {-3, -2}. Bagaimana, mudah bukan? Anda sudah paham? Bagus! Apabila Anda belum paham perhatikanlah contoh 2 di bawah ini!

	Contoh 2: Tentukan akar-akar persamaan kuadrat: x – 4x + 4 = 0 dengan cara menggunakan rumus kuadrat! Jawab: x – 4x + 4 = 0, berarti a = 1, b = -4, dan c = 4 Dengan menggunakan rumus kuadrat maka diperoleh:
	=
	=
	=
	=
	x1=		= 2	atau	x2  =		= 2
	Jadi akar-akarnya adalah x1 = x2 = 2, atau Hp = {2}, maka persamaan kuadrat itu mempunyai akar-akar sama(kembar) Setelah memperhatikan contoh-contoh di atas, apakah Anda paham? Baiklah, untuk menambah pemahaman Anda perhatikan contoh 3 di bawah ini.

	Contoh 3: Tentukan akar-akar persamaan kuadrat: 2x – 4x + 1 = 0 dengan cara menggunakan rumus kuadrat! Jawab: 2x – 4x + 1 = 0, berarti a = 2, b = -4, dan c = 1. Dengan menggunakan rumus kuadrat maka diperoleh:
	=
	=
	=
	=
	=
	=
	x1=			atau	x2  =
	Jadi akar-akarnya adalah x1 = atau x2 = ,
	atau Hp = {, } Bagaimana, mudah bukan? Baiklah, untuk lebih jelasnya perhatikan contoh 4 di bawah ini!

	Contoh 4: Tentukan akar-akar persamaan kuadrat: 3x + 2x + 1 = 0 dengan menggunakan rumus kuadrat! Jawab: 3x + 2x + 1 = 0, berarti a = 3, b = 2, dan c = 1. Dengan menggunakan rumus kuadrat maka diperoleh:
	=
	=
	=
	Karena adalah khayal (imajiner), berarti akar-akar persamaan kuadrat di atas adalah khayal (imajiner). Atau persamaan kuadrat 3x + 2x + 1 = 0 atau dikatakan tidak mempunyai penyelesaian. Himpunan penyelesaiannya adalah himpunan kosong, dilambangkan dengan .
	Setelah mempelajari beberapa contoh di atas, apakah Anda sudah paham? Untuk mengetahui sejauh mana pemahaman Anda terhadap materi di atas, kerjakan soal-soal latihan uji kompetensi berikut ini: Tentukan akar-akar tiap persamaan kuadrat di bawah ini dengan cara menggunakan rumus kuadrat: 1.  6x – 5x + 1 = 0 2.  x + 6x – 9 = 0 3.  x – 4x -1 = 0 4.  x – x + 2 = 0 Kerjakanlah soal-soal di atas tanpa membaca jawabannya terlebih dahulu. Apabila Anda sudah selesai mengerjakannya, cocokkanlah pekerjaan Anda dengan jawaban di bawah ini.

	1.	6x – 5x + 1= 0, berarti: a = 6, b = -5, dan c = 1. Maka:
		x12 =
		=
		=
		=
		x1 = = = atau x2 = = =
		Jadi akar-akarnya adalah x1 = atau x2 =
		Atau HP = { , }

	2.	x + 6x + 9 = 0, berarti a = 1, b = 6, dan c = 9. Maka:
		x12 =
		=
		=
		x1 = = -3 atau x2 = = -3
		Jadi akar-akarnya adalah x1 = x2 = -3
		Atau HP = {-3}

	3.	x – 4x – 1 = 0, berarti a = 1, b = -4, dan c = -1. Maka:
		x12 =
		=
		=
		=
		=
		=	2 ( 2 ± )
		x1 = 2 + atau x2 = 2 –
		Jadi akar-akarnya adalah x1 = 2 + atau x2 = 2 –
		Atau HP = { 2 + , 2 – }

	4.	x – x + 2 = 0, berarti a = 1, b = -1, dan c = 2. Maka:
		x12 =
		=
		=
		Karena adalah khayal (imajiner), berarti akar-akar persamaan kuadrat di atas adalah khayal (imajiner). Atau persamaan kuadrat x – x + 2 = 0 dikatakan tidak mempunyai penyelesaian.
	Bagaimana, tidak sulit bukan? Pekerjaan Anda sama seperti jawaban di atas? Apabila ya bagus, berarti Anda benar. Apabila pekerjaan Anda belum benar, segeralah samakan dengan jawaban di atas. Bagi Anda yang menjawab benar, selanjutnya dapat mempelajari materi