2. Definit Positif dan Definit Negatif

Pada kegiatan 3 bagian 1 Anda telah mempelajari cara menggambar sketsa grafik fungsi kuadrat f(x) = ax + bx + c.

Beberapa sketsa grafik fungsi kuadrat yang mungkin jika ditinjau dari nilai a dan diskriminan D = b – 4ac telah Anda ketahui pada Gambar 3-8. Simaklah kembali Gambar 3-8a dan Gambar 3-8d. Selanjutnya perhatikanlah penjelasan di bawah ini.

-

-

Untuk Gambar 3-8a
Pada Gambar 3-8a, parabola terbuka ke atas dan tidak memotong maupun menyinggung sumbu x. dikatakan parabola selalu berada di atas sumbu x untuk setiap nilai x R. Hal ini terjadi apabila nilai a>0 dan D<0.
Secara aljabar dapat dikatakan:
Bentuk ax + bx + c disebut definit positif.
Dengan demikian, syarat definit positif adalah a>0 dan D<0.

Untuk Gambar 3-8d
Pada Gambar 3-8d, parabola terbuka ke bawah dan tidak memotong maupun menyinggung sumbu x. dikatakan parabola selalu berada di bawah sumbu x untuk setiap nilai x R. Hal ini terjadi apabila nilai a<0 dan D<0.
Secara aljabar dapat dikatakan:
Bentuk ax + bx + c <0 untuk setiap x R, atau bentuk ax + bx + c disebut definit negatif.
Dengan demikian, syarat definit negatif adalah a<0 dan D<0.

Agar Anda memahami dan terampil menyelesaikan soal-soal yang berkaitan dengan definit positif dan definit negatif, perhatikanlah beberapa contoh di bawah ini.

Contoh 1:
Selidiki apakah fungsi kuadrat dengan persamaan f(x) = x + x + 5 termasuk definit positif atau definit negatif atau tidah kedua-duanya?
Jawab:
Fungsi kuadrat f(x) = x + x + 5, berarti a= 1, b = 1, dan c = 5.
Maka diskriminan D = b – 4ac = (1) – 4(1)(5) = 1-20 = -19.
Karena a = 1 dan D = -19 ini berarti a>0 dan D<0, sehingga fungsi kuadrat
f(x) = x + x + 5 termasuk definit positif.

Mudah bukan? Baiklah, selanjutnya perhatikan contoh 2 di bawah ini.

Contoh 2:
Periksa apakah fungsi kuadrat dengan persamaam f(x) = -x – 4x – 6 termasuk definit positif atau definit negatif atau tidak kedua-duanya?
Jawab:
Fungsi kuadrat f(x) = -x – 4x – 6, berarti a = -1, b= -4, dan c = -6.
Maka diskriminan D = b – 4ac = (-4) – 4(-1)(-6) = 16-24 = -8.
Karena a = -1 dan D = -8 ini berarti a<0 dan D<0, sehingga fungsi kuadrat
f(x) = -x – 4x – 6 termasuk definit negatif.

Sudah pahamkah Anda setelah memcermati contoh 1 dan 2 di atas? Baiklah, untuk lebih pahamnya perhatikan contoh 3 berikut.

Contoh 3:
Periksa apakah fungsi kuadrat dengan persamaam f(x) = -2x + 4x termasuk definit positif atau definit negatif atau tidak kedua-duanya?
Jawab:
Fungsi kuadrat f(x) = -2x + 4x, berarti a= -2, b = 4, dan c = 0.
Maka diskriminan D = b – 4ac = (4) – 4(-2)(0) = 16 + 0 = 16.
Karena a = -1 dan D = 16 ini berarti a<0 dan D>0, sehingga fungsi kuadrat
f(x) = -2x + 4x tidak definit positif dan tidak definit negatif.

Bagaimana, tidak sulit bukan? Anda sudah paham? Bagus! Apabila belum paham, perhatikan contoh 4 di bawah ini.

Contoh 4:
Tentukan batas-batas nilai p, agar fungsi f(x) = x – 4x + m definit positif!
Jawab:
Fungsi kuadrat f(x) = x – 4x + m, berarti a= 1, b= -4, c = m
Syarat agar fungsi kuadrat f definit adalah a>0 dan D<0.

(i) a>0, syarat ini sudah dipenuhi karena a = 1
(ii)
D<0, maka: b – 4ac
(-4) – 4(1)(m)
16 – 4m
16
16
16/4
4
m
< 0
< 0
< 0
< 0+4m
< 4m
< m
< m
> 4

Karena syarat (i) sudah dipenuhi, maka berdasarkan syarat (ii) batas-batas nilai m adalah m>4.

Setelah mempelajari contoh-contoh di atas, apakah Anda sudah paham? Untuk menambah pemahaman Anda, cermati contoh 5 di bawah ini.

Contoh 5:
Tentukan batas nilai k, agar fungsi f(x) = (k-1)x – 2kx + (k-2) definit negatif!
Jawab:
Fungsi kuadrat f(x) = (k-1)x – 2kx + (k-2), berarti a = (k-1), b= -2k, dan c = (k-2).
Syarat agar fungsi kuadrat f definit negatif adalah a<0 dan D<0.

(i)

a<0, maka (k-1)
k-1
k
k

< 0
< 0
< 0 + 1
< 1
(ii)
D<0, maka: b – 4ac
(-2k) – 4(k-1)(k-2)
4k – 4(k-2k-k+2)
4k – 4(k – 3k + 2)
4k – 4k + 12k – 8
12k – 8
12k
12k
k
k
< 0
< 0
< 0
< 0
< 0
< 0
< 0 + 8
< 8
< 8/12
< 2/3

Dengan menyatukan syarat (i) dan (ii) atau mencari irisannya, maka batas nilai k seperti diperlihatkan pada Gambar 3-16 di bawah ini.


Gambar 3-16

Berdasarkan Gambar 3-16 batas nilai k yang memenuhi adalah k <
Jadi, agar fungsi kuadrat f(x) = (k-1)x – 2kx + (k-2) definit negatif adalah k <

Setelah menyimak beberapa contoh di atas, apakah Anda paham? Untuk mengetahui sejauh mana pemahaman Anda terhadap materi di atas, kerjakan soal-soal latihan di bawah ini.

1.

2.

3.

Selidiki masing-masing fungsi kuadrat di bawah ini, apakah definitif positif, definitif negatif atau tidak kedua-duanya.
a). f(x) = 2x + 3x + 4.
b). f(x) = -x + 2x – 5.
c). f(x) = x – x – 2.
Tentukan batas-batas nilai m, agar fungsi kuadrat (f(x) = -x – 8x + m definit negatif!
Tentukan batas-batas nilai k, agar fungsi kuadrat:
f(x) = (k + 1)x + (2k+1)x + (k+2) definit positif.


Sebelum Anda selesai mengerjakan soal-soal di atas, jangan membaca jawabannya terlebih dulu. Apabila sudah selesai mengerjakannya, seperti inikah jawaban Anda?

1.

a.

b.

c.

Fungsi kuadrat f(x) = 2x + 3x + 4, berarti a = 2, b = 3, dan c = 4.
Maka diskriminan D = b – 4ac = (3) – 4(2)(4) = 9-32 = -23.
Karena a = 2 dan D = -23 ini, berarti a>0 dan D<0 sehingga fungsi kuadrat
f(x) = 2x + 3x + 4 termasuk definit positif.
Fungsi kuadrat f(x) = -x + 2x – 5, berarti a = -1, b= 2, dan c = -5.
Maka diskriminan D = b – 4ac = (2) – 4(-1)(-5) = 4-20 = -16.
Karena a = -1 dan D = -16, ini berarti a<0 dan D<0, sehingga fungsi kuadrat
f(x) = -x + 2x – 5 termasuk definit negatif.
Fungsi kuadrat f(x) = x – x – 2, berarti a = 1, b = -1, dan c = -2.
Maka diskriminan D = b – 4ac = (-1) – 4(1)(-2) = 1+8 = 9.
Karena a=1 dan D = 9, ini berarti a>0 dan D>0, sehingga fungsi kuadrat
f(x) = x – x – 2 tidak termasuk definit positif maupun negatif.
2. Fungsi kuadrat f(x) = -x – 8x + m, berarti a = -1, b = -8, dan c = m.
Syarat agar fungsi kuadrat f definit adalah a<0 dan D<0.

(i) a<0, syarat ini sudah dipenuhi karena a = -1
(ii)
D<0, maka: b – 4ac
(-8) – 4(-1)(m)
64 + 4m
4m
4m
m
m
< 0
< 0
< 0
< 0-64
< -64
< -64/4
< -16
Karena syarat (i) sudah dipenuhi, maka berdasarkan syarat (ii) batas-batas nilai m adalah m <-16.
3.
Fungsi kuadrat f(x) = (k+1)x + (2k+1)x + (k+2), berarti a= (k+1), b = (ak+1), dan c = (k+2).
Syarat agar fungsi f definit positif adalah a>0 dan D<0.

(i)

a<0, maka (k+1)
k+1
k
k

> 0
> 0
> 0 – 1
> -1
(ii)
D<0, maka: b – 4ac
(2k+1) – 4(k+1)(k+2)
4k+4k+1 – 4(k+2k+k+2)
4k+4k+1 – 4(k+3k+2)
4k+4k+1 – 4k-12k-8
-8k-7
-7
-7
8k
k
< 0
< 0
< 0
< 0
< 0
< 0
< 0 + 8k
< 8k
> -7
> -7/8

Dengan menyatukan syarat (i) dan (ii) atau mencari irisanya, maka batas nilai k seperti diperlihatkan pada Gambar 3-17 di bawah ini.


Gambar 3-17

Berdasarkan Gambar 3-17 batas nilai k yang memenuhi adalah k>
Jadi, agar fungsi kuadrat f(x) = (k+1)x + (2k+1)x + (k+2) definit positif adalah k >

Bagaimana, tidak sulit bukan? Apakah pekerjaan Anda sama seperti jawaban di atas? Apabila ya, bagus! Berarti Anda benar. Jika Anda mengalami kesulitan diskusikan dengan teman-teman atau tanyakan kepada guru bina pada saat tatap muka. Bagi Anda yang menjawab belum benar segeralah samakan pekerjaan Anda dengan jawaban di atas.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

Follow

Get every new post delivered to your Inbox.

%d bloggers like this: